În matematică, o serie Taylor este o reprezentare a unei funcții ca o sumă infinită de termeni calculați din valorile derivatelor acelei funcții într-un punct. Poate fi privită ca limită a polinoamelor Taylor. Seriile Taylor au fost numite astfel după matematicianul englez Brook Taylor. Dacă seria folosește derivatele în zero, atunci ea se numește serie Maclaurin, denumită astfel după matematicianul scoțian Colin Maclaurin.
Seria Taylor a unei funcții reale sau complexe f care este funcție indefinit derivabilă pe o vecinătate a unui număr real sau complex a, este seria de puteri
$$f(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} $$
$$f(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^n $$
Folosind sirurile Taylor se poate demonstra formula $$e^{ix} = \cos(x) + isin(x)$$
Demostratie $$e^{x}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^n}{n!}} $$ $$sin(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}} $$ $$cos(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}} $$ $$e^{x}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}} + \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}} $$ $$e^{ix}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(ix)}^{2n}}{(2n)!}} + \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(ix)}^{2n+1}}{(2n+1)!}} $$ $$e^{ix}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}} + i\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}} $$ $$e^{ix}=cos(x)+isin(x) $$